УДК

517.927.25

Сведения об авторах

Конечная Наталья Николаевна, Институт математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова
адрес: 163002, г. Архангельск, ул. Урицкого, д. 68, к. 3; e-mail: n.konechnaya@narfu.ru

Сафонова Татьяна Анатольевна, Институт математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова
адрес: 163002, г. Архангельск, наб. Северной Двины, д. 17; e-mail: t.Safonova@narfu.ru

Тагирова Рена Насировна, Институт математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова
адрес: 163002, г. Архангельск, наб. Северной Двины, д. 17; e-mail: tagirova_rena@mail.ru

Аннотация

Одной из интересных задач спектральной теории операторов является изучение асимптотического поведения функции распределения при больших значениях спектрального параметра λ. Частным случаем этой задачи является изучение асимптотики собственных значений, собственных функций в зависимости от свойств коэффициентов дифференциального выражения и получение формул регуляризованного следа для соответствующих операторов. Для дифференциального оператора Штурма–Лиувилля, порожденного выражением –yʺ(x) + q(x)y(x) и самосопряженными краевыми условиями в пространстве L2[a, b], с непрерывно дифференцируемым потенциалом существенные результаты были получены И.М. Гельфандом, Б.М. Левитаном в 1953 году. Сравнительно недавно в работах А.А. Шкаликова, А.М. Савчука были впервые получены асимптотика собственных значений, собственных функций и формула регуляризованного следа для операторов Штурма–Лиувилля на конечном отрезке с сингулярными потенциалами, не являющимися локально интегрируемыми функциями, и краевыми условиями Дирихле. При этом применялось определение оператора Штурма–Лиувилля с потенциалом-распределением первого порядка как оператора, порожденного квазидифференциальным выражением второго порядка с локально суммируемыми коэффициентами, впервые рассмотренное в работах А.М. Савчука и А.А. Шкаликова. Такой подход позволил нам в данной работе исследовать асимптотическое поведение собственных значений и получить формулы регуляризованного следа первого порядка для операторов, порожденных выражением –yʺ(x) + hδ(x)y(x), где δ(x) – δ-функция Дирака, h ϵ R, и некоторыми самосопряженными краевыми условиями в пространстве L2[–1, 1], а именно условиями вида: i) y(–1) = y(1) = 0; ii) y[1](–1) = y[1](1) = 0; iii) y(–1) = y[1](1) = 0; iv) y(–1) = = y(1), y[1](–1) = y[1](1). Для нахождения асимптотики собственных значений указанных операторов найдены соответствующие трансцендентные уравнения. Дальнейший анализ полученных уравнений позволяет получить формулы регуляризованного следа первого порядка рассмотренных операторов.

Ключевые слова

квазидифференциальные операторы, оператор Штурма–Лиувилля с δ-потенциалом, асимптотика собственных значений, регуляризованный след оператора.

Список литературы

1. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма–Лиувилля с сингулярными потенциалами // Математ. заметки. 1999. Т. 66, № 3. С. 847–912. 
2. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма–Лиувилля с потенциалами-распределениями // Тр. ММО. 2003. Т. 64. С. 159–212. 
3. Мирзоев К.А. Операторы Штурма–Лиувилля // Тр. ММО. 2014. Т. 75, вып. 2. С. 335–359. 
4. Савчук А.М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма–Лиувилля с δ-потенциалом // Успехи математ. наук. 2000. Т. 55, № 6. С. 155–156. 
5. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Формула следа для операторов Штурма–Лиувилля с сингулярными потенциалами // Математ. заметки. 2001. Т. 69, № 3. С. 427–442.