УДК

517.518.8

Сведения об авторах

Половинкина Юлия Станиславовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и высокопроизводительных вычислений института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова. Автор 37 научных публикаций, в т. ч. трех учебных пособий

Аннотация

Для многочленов Бернштейна и ряда их классических обобщений, относящихся к классу линейных положительных операторов, известно, что с увеличением гладкости функции порядок ее приближения такими операторами не улучшается. А именно, наличие производной выше второго порядка перестает влиять на увеличение скорости сходимости многочленов Бернштейна к порождающей функции. При этом многочлены Бернштейна обладают замечательным свойством одновременного приближения функции и ее производных, что делает их удобным инструментом для применения в построении различных численных моделей (например, для аппроксимации исходных данных мониторинга в вычислительных алгоритмах). Существует несколько подходов к получению последовательностей полиномиальных операторов, которые решали бы проблему скорости аппроксимации непрерывно дифференцируемых функций. Чаще всего речь идет о построении некоторых модификаций исходных многочленов, например последовательностей бернштейновского типа, модификаций Кирова. В статье предлагается принципиально другой способ обобщения классических многочленов, позволяющий сохранить их линейность и положительность, а следовательно, и основанные на этом методы доказательства утверждений, но при этом приводящий к получению операторов, реагирующих на повышение гладкости функции. Для этого сначала строятся итерационные сплайны по многочленам Бернштейна, имеющие более высокую скорость сходимости к порождающей функции, чем исходные операторы. Для них приведены соответствующие теоремы об аппроксимации непрерывных и гладких функций, даны оценки центральных моментов. Показано, что, несмотря на увеличение общей скорости сходимости, построенные сплайны обладают тем же недостатком, что и порождающие их многочлены: приближение с их помощью функций, имеющих производную выше второго порядка, не улучшается. Затем изучаются такие модификации рассматриваемых сплайнов, порядок сходимости которых к порождающей функции существенно увеличивается с повышением ее гладкости. Исследуются основные приближающие свойства полученных последовательностей операторов, доказываются соответствующие теоремы типа Поповичиу и Вороновской–Бернштейна.

Ключевые слова

итерационный сплайн, многочлены Бернштейна, модификации.

Список литературы

1. Вороновская Е.В. Определение асимптотического вида приближения функций многочленами С.Н. Бернштейна // Докл. акад. наук СССР, А. 1932. № 4. С. 79–85. 
2. Виденский В.С. Многочлены Бернштейна. Л., 1990. 64 с. 
3. Пендина Т.П. О приближении дифференцируемых функций бернштейновскими модификациями некоторых положительных операторов // Применение функционального анализа в теории приближений: сб. науч. тр. Калинин, 1987. С. 72–80. 
4. Ершова Т.В. О приближении непрерывных функций модификациями линейных положительных операторов // Применение функционального анализа в теории приближений: сб. науч. тр. Тверь, 1997. С. 73–79. 
5. Половинкина Ю.С. Обобщенные многочлены Бернштейна // Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика: материалы междунар. науч.-практ. конф. Архангельск, 2010. С. 160–161. 
6. Kirov G.H. A Generalization of the Bernstein Polynomials // Mathematica Balkanica. 1992. Vol. 6, № 2. P. 147–153. 
7. Джамалов М.Ш. К одной теореме Е.В. Вороновской // Операторы и их приложения: сб. науч. тр. Л., 1985. С. 22–27. 
8. Половинкина Ю.С. Об итерации сплайнов по многочленам Бернштейна // Вестн. Помор. ун-та. Сер.: Естеств. науки. 2009. № 1. С. 83–87. 
9. Половинкина Ю.С. О модификациях Кирова для сплайнов по многочленам Бернштейна // Вестник математического факультета: межвуз. сб. науч. тр. Архангельск, 2011. Вып.10. С. 17–20.