CC..png

16plus.png

Юридический и почтовый адрес учредителя и издателя: САФУ им. М.В. Ломоносова, наб. Северной Двины, д. 17, г. Архангельск, Россия, 163002
Адрес редакции: «Вестник САФУ. Серия "Гуманитарные и социальные науки"», ул. Урицкого, 56, г. Архангельск

Тел: (818-2) 21-61-00, вн. 18-20 
Сайт: https://vestnikgum.ru
e-mail: vestnik_gum@narfu.ru              

о журнале

Лемма Ринова о нормированной полосе для пространств, выпуклых относительно выделенного семейства отрезков. С. 138–142.

 Версия для печати

Рубрика: Физика, Математика, Информатика

Скачать статью (pdf, 3.7MB )

УДК

514.172.2

Сведения об авторах

Старостина Вера Валерьевна, аспирант кафедры математического анализа, алгебры и геометрии института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова. Автор двух научных публикаций

Аннотация

Взаимное расположение прямых линий играет важную роль в геометрии геодезических пространств. Особое значение в ряде случаев придается параллельным прямым, т. е. прямым, расстояние Хаусдорфа между которыми конечно. В общем случае параллельность не влечет за собой каких-то особых свойств. Особый случай – так называемые выпуклые пространства, или пространства неположительной кривизны. В этом случае поведение параллельных прямых жестко регулируется классической леммой Ринова, утверждающей, что любые две параллельные прямые в пространстве неположительной кривизны в смысле Буземана ограничивают нормированную полосу, т. е. выпуклое подмножество, изометричное полосе между двумя параллельными прямыми на плоскости, оснащенной строго выпуклой нормой. 
В статье доказывается обобщение леммы на случай пространств неположительной кривизны по Буземану относительно выделенного семейства отрезков. Под выделенным семейством отрезков в геодезическом пространстве понимается такое семейство S, что любые две точки пространства соединяются единственным отрезком из S, и всякий отрезок, содержащийся в отрезке из S, также принадлежит S. Свойство выпуклости пространства относительно S означает, что в произвольном треугольнике, образованном отрезками из S, средняя линия не превосходит половины основания. 
Основная теорема утверждает, что в пространстве неположительной кривизны по Буземану относительно выделенного семейства отрезков всякие две выделенные прямые ограничивают слабую нормированную полосу, т. е. слабо выпуклое подмножество, изометричное полосе между двумя параллельными аффинными прямыми в нормированной плоскости. Это позволяет развить методы геометрии пространств неположительной кривизны на случай G-пространств с выделенной системой отрезков. 
При доказательстве основной теоремы применяется процедура предельного перехода по неглавному ультрафильтру. Поскольку существование неглавного ультрафильтра на множестве натуральных чисел является следствием аксиомы выбора, доказательство нельзя считать конструктивным. Проблема доказательства леммы Ринова в заданном классе пространств без использования ультрафильтров тесно связана с существованием S-выпуклой нормированной полосы.

Ключевые слова

лемма Ринова, нормированная полоса, слабая выпуклость, неположительная кривизна, выделенное семейство отрезков.

Список литературы

  1. Rinow W. Die innere Geometrie der metrischen Räume. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Berlin; N. Y.; Heidelberg, 1961. 
  2. Busemann H., Phadke B.B. Spaces with Distinguished Geodesics. N. Y.; Basel; Marcel, 1987. 
  3. Сосов Е.Н. Касательное пространство по Буземану // Изв. вузов. Математика. 2005. № 6. С. 71–75. 
  4. Kleiner B. Local Structure of Length Spaces with Curvature Bounded Above // Mathematische Zeitschrift. 1999. Vol. 231, is. 5. P. 409–456. 
  5. Бурбаки Н. Общая топология. М., 1958. 
  6. Андреев П.Д. Доказательство гипотезы Буземана для G-пространств неположительной кривизны // Алгебра и анализ. 2014. № 2. С. 1–20. 
  7. Буземан Г. Геометрия геодезических. М., 1962. 503 с.