УДК

517.927

Сведения об авторах

Т.А. Сафонова*, С.В. Рябченко*
*Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова
Контактное лицо: Сафонова Татьяна Анатольевна, адрес: 163002, г. Архангельск, наб. Северной Двины, д. 17; e-mail: t.Safonova@narfu.ru

Аннотация

Вопросы об асимптотике собственных значений и собственных функций в зависимости от коэффициентов дифференциального выражения, а также о получении формул регуляризованного следа для соответствующих операторов являются весьма актуальными в современной спектральной теории дифференциальных операторов. В случае оператора Штурма–Лиувилля с непрерывно-дифференцируемым потенциалом основные результаты были получены И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном в работе 1953 года. Позднее в работах Л.А. Дикого, В.А. Садовничего, В.Б. Лидского, В.А. Марченко и других математиков эти результаты были обобщены на случай дифференциальных операторов высших порядков и операторов в частных производных. Для оператора Штурма–Лиувилля с сингулярным потенциалом, не являющимся локально интегрируемой функцией, и краевых условий Дирихле на конечном интервале аналогичные вопросы впервые были рассмотрены А.А. Шкаликовым и А.М. Савчуком в работах 1999–2003 годов. В сравнительно недавних работах А.Г. Костюченко и С.Р. Исмагилова (2007–2008 годы) был получен главный член асимптотики считающей функции для самосопряженных расширений векторного оператора Штурма–Лиувилля, порожденного выражением l[y]=‑y′′(x)+Q(x)y(x) в пространстве L²₂(R₊), где Q(x) – вещественная симметрическая квадратная матрица второго порядка. Данная работа посвящена нахождению трансцендентных уравнений для собственных значений самосопряженного оператора с сингулярным потенциалом. Дальнейший анализ полученных уравнений позволяет найти асимптотику собственных значений и формулу регуляризованного следа первого порядка рассмотренных операторов.

Ключевые слова

квазипроизводная, оператор Штурма–Лиувилля с сингулярным потенциалом, собственные значения

Список литературы

1. Everitt W.N., Marcus L. Boundary Value Problems and Sympleсtic Algebra for Ordinary Differential and Quasi- Differentrial Operators // AMS. Mathematical Surveys and Monographs. 1999. Vol. 61. 187 P. 
2. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма–Лиувилля с сингулярными потенциалами // Мат. заметки. 1999. Т. 66, № 6. С. 897–912. 
3. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма–Лиувилля с потенциалами-распределениями // Тр. Моск. мат. о-ва. 2003. Т. 64. С. 159–212. 
4. Савчук А.М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма–Лиувилля с δ-потенциалом // Успехи мат. наук. 2000. Т. 55, № 6. С. 155–156. 
5. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Формула следа для операторов Штурма–Лиувилля с сингулярными потенциалами // Мат. заметки. 2001. Т. 69, № 3. С. 427–442. 
6. Конечная Н.Н., Тагирова Р.Н. Асимптотика собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с d - потенциалом // Развитие Северо-Арктического региона: проблемы и решения: материалы науч. конф. профессор.- преподават. состава, науч. сотрудников и аспирантов Сев. (Арктич.) федер. ун-та им. М.В. Ломоносова. Архангельск, 2015. С. 448–452.