УДК

515.16

Сведения об авторах

Андреев Павел Дмитриевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова. Автор 50 научных публикаций 

Аннотация

В статье изучается геометрия G-пространства Буземана конического типа, т. е. такого G-пространства X неположительной кривизны, касательный конус KpX которого изометричен самому пространству. Геодезические пространства этого класса обладают рядом важных геометрических свойств. Наиболее существенно то, что в этом случае на X действует группа H положительных гомотетий hk с центром p. G-пространства конического типа ранее использовались П.Д. Андреевым для доказательства гипотезы Буземана, утверждающей, что всякое G-пространство неположительной кривизны является топологическим многообразием. Основной результат статьи – теорема, утверждающая, что любые два произвольных луча с началом p в пространстве X содержатся в некоторой нормированной плоскости. Здесь под нормированной плоскостью в геодезическом пространстве X понимается выпуклое подмножество, изометричное аффинной плоскости, оснащенной строго выпуклой нормой. Доказательство теоремы опирается на тот факт, что выпуклая оболочка двух не дополнительных друг к другу лучей с общим началом в вершине p есть угол, полученный объединением образов фиксированного отрезка с концами на этих лучах под действием гомотетий вида hk, k > 0. Доказанная теорема порождает некоторые дополнительные проблемы. В первую очередь, возникает вопрос, не имеет ли произвольное G-пространство конического типа структуру нормированного пространства в целом? Если ответ на этот вопрос положителен, то появляется новый взгляд на G-пространства неположительной кривизны как на почти финслеровы многообразия. В этом случае единственным отличием G-пространств от финслеровых многообразий будет возможное отсутствие гладкости норм в касательных пространствах.

Ключевые слова

G-пространство Буземана, пространство конического типа, луч, отрезок, нормированная плоскость.

Список литературы

1. Андреев П.Д. Доказательство гипотезы Буземана для G‑пространств неположительной кривизны // Алгебра и анализ. 2014. № 2. С. 1–20. 
2. Busemann H. Metric Methods in Finsler Geometry and in the Foundations of Geometry // Ann. Math. Study. Princeton, 1942. Vol. 8. 
3. Busemann H. On Spaces in Which Two Points Determine a Geodesic // Trans. Amer. Math. Soc. 1943. Vol. 54. Р. 171–184. 
4. Сосов Е.Н. Касательное пространство по Буземану // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 2005. № 6. С. 71–75. 
5. Бураго Ю.Д., Бураго Д.Ю., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. М.; Ижевск, 2004.