УДК

539.3

Сведения об авторах

Томашевский Игорь Людвигович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета им. М.В. Ломоносова. Автор 30 научных работ, в т. ч. 7 учебно-методических пособий

Аннотация

Рассматривается модель бесконечной сплошной среды, взаимодействие между пространственно удаленными элементами которой характеризуется потенциальной энергией, пропорциональной массам элементов и потенциалу взаимодействия, зависящего от расстояния между элементами. Исследуются равновесные состояния такой среды с плотностью вещества, положительной всюду, за исключением, может быть, множества точек нулевой меры. Показывается, что геометрия рассматриваемых равновесных состояний определяется только корнями преобразования Фурье ϕ ( p) потенциала взаимодействия и не все равновесные состояния с непрерывным распределением вещества являются устойчивыми, т. е. обладают минимальной потенциальной энергией по отношению к любым локальным перераспределениям вещества. Их устойчивость зависит от наличия и положения точек минимума преобразования Фурье ϕ ( p) . Выполнен анализ состояний равновесия в случае, когда преобразование Фурье ϕ ( p) имеет единственную точку локального минимума p0 положительно всюду, за исключением, может быть, окрестности точки p0 . Рассмотрены три возможных случая. В первом ( 0 (ϕ p ) < 0 ) состояния равновесия с непрерывной почти всюду плотностью вещества является неустойчивыми. Во втором случае ( 0 (ϕ p ) > 0 ) среда имеет единственное состояние равновесия, причем оно устойчиво и однородно. В третьем ( 0 (ϕ p ) = 0 ) существует бесконечное множество различных состояний равновесия, все они устойчивы и имеют пространственно периодическую плотность вещества и одинаковую энергию. Среди этих состояний имеются однородные состояния с постоянной плотностью, а также состояния с 1D-периодическим (слоистым) и 2D-периодическим (цилиндрическим) распределением вещества. Необычная способность сплошных сред c нелокальным взаимодействием к образованию периодических кристаллоподобных конфигураций вещества может быть использована для моделирования пространственных конфигураций и физико-механических свойств реальных многоатомных кристаллических объектов.

Ключевые слова

сплошная среда, нелокальное взаимодействие, периодические функции.

Список литературы

1. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М., 1975.
   
2. Ильюшин A.A., Ломакин В.А. Моментные теории в механике твердых деформируемых тел // Прочность и пластичность. М., 1971. С. 54–61.
   
3. Седов Л.И. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы // Приклад. математика и механика. 1968. Т. 32, вып. 5. С. 771–785.
   
4. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Приклад. математика и механика. 1964. Т. 28, вып. 3. С. 401–408.
   
5. Китайгородский А.И. Смешанные кристаллы. М., 1983.
   
6. Марихин В.А., Мясникова Л.П. Надмолекулярная структура полимеров. Л., 1977.
   
7. Гусев А.И., Ремпель A.A. Нанокристаллические материалы. М., 2001.
   
8. Браун Г., Уолкен Дж. Жидкие кристаллы и биологические структуры. М., 1982.
   
9. Burducea G. Lyotropic Liquid Crystals I. Specific Structures // Romanian Reports in Physics. 2004. Vol. 56, № 1. P. 66–86.
   
10. Каплан И.Г. Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий. М., 1982.